（2010•东城区模拟）已知双曲线2x29−2y23＝1，椭圆C与双曲线有相同的焦点，两条曲线的离心率互为倒数．

解题思路：（1）设出椭圆的标准方程，依据条件，待定系数法求出待定系数，进而得到椭圆的标准方程．
（2）用点斜式设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用判别式大于0，求出m的取值范围．
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．设出A、B两个点的坐标，并用此坐标表示k₁，k₂，把（2）中根与系数的关系代入k₁+k₂化简可得结论．

解（1）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，∵焦点坐标（±
6，0），离心率是

3
2，
a²=8，b²=a²-c²=2，
所以椭圆方程
x2
8+
y2
2＝1
（2）因为直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM＝
1
2，所以l的方程为：y＝
1
2x+m，
由

y＝
1
2x+m

x2
8+
y2
2＝1⇒x2+2mx+2m2−4＝0，
因为直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，（8分）
所以m的取值范围是{m|-2＜m＜2，m≠0}．（9分）
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只要证明k₁+k₂=0即可．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则k1＝
y1−1
x

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆的标准方程、直线与圆的位置关系的综合应用．