已知在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4,设P为三角形ABO内切圆上的动点,求PA^2+PB^2+P

在RT三角形ABO中角AOB=90度,OA=3,OB=4
得：AB=5
根据直角三角形内切圆的推导公式r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径,a, b是Rt△的2个直角边,c是斜边）,可求出内切圆r
得：r=(OA+OB-AB)/2
=(3+4-5)/2
=1
以O为坐标原点, OA、OB两直角边为y,x轴建立直角坐标系,设OB边和x轴重合,
设：P点坐标为：（x,y）,A点坐标：（0,3）,B点坐标（4,0）
向量PA=（-x,3-y）,向量PB=（4-x,y）,向量PO=(-x,-y)
令：Z=PA²+PB²+PO²
=x²+(3-y)²+(4-x)²+y²+x²+y²
分解因式得：Z=3(x²+y²)-8x-6y+25----①
内切圆的方程为：（x-1）²+(y-1)²=1
由题知： 点p在内切圆上,所以满足上述内切圆方程
得：x²+y²-2x-2y+1=0----②
由①-3×②得：Z=22-2x
因：P点在半径为1的圆上
得：P在x上的取值范围为：0≤x≤2（不等式两边同乘-2）
得：-4≤-2x≤0（不等式两边加22）
得：18≤22-2x≤22
得：18≤Z≤22
即：18≤PA²+PB²+PO²≤22

参考资料：http://baike.baidu.com/view/608209.htm

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