（2010•成都三模）已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．

（2010•成都三模）已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；
（2）设Sn＝
n
k＝1
φ(1+
k
n
)，Tn＝
n
k＝1
φ(1+
k−1
n
)，n∈N*．
（i）求证：
Sn
n
＜ln2；
（ii）是否存在正整数n0，使得当n＞n0时，都有0＜
Sn+Tn
2n
−ln2＜
1
8040
成立？若存在，求出一个满足条件的
n0的值；若不存在，请说明理由．
vanhalenzr 1年前 已收到1个回答 举报
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strong_guy 幼苗

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解题思路：（1）先求g（x）的导函数，再确定其单调性，从而确定函数的极值；
（2）（i）先证明[1/n+k＜ln(1+
1
n+k−1
)＝ln(n+k)−ln(n+k−1)，再进行累加可证；（ii）又
Tn
n
＝
1
n
+
1
n+1
++
1
2n−1]，
Sn+Tn
2n
＝
Sn
n
+
1
4n
由（i）知
Sn+Tn
2n
−ln2＜
1
4n
，从而可以得n＞2010时，有
Sn+Tn
2n
−ln2＜
1
8040
，进一步有
1
2
(
1
n+k
+
1
n+k−1
)＞ln(n+k)−ln(n+k−1)，从而可证．

（1）因为g′(x)＝
1
x+a−
1
(x+a)2＝
x−(1−a)
(x+a)2，∴x∈（-a，1-a]时，函数g（x）为减函数，当x∈[1-a，+∞），函数g（x）为增函数，所以当x=1-a时，函数g（x）取得极小值g（1-a）=1，没有极大值；
（2）∵
Sn
n＝
1
n+1+
1
n+2++
1
2n
（i）取a=1，由（1）知，当x＞0时有g（x）＞g（0）=1，即[1/x+1+ln(x+1)＞1，∴
x
x+1＜ln(x+1)，即
1
1+
1
x＜ln(x+1)
令1+
1
x＝n+k，即x＝
1
n+k−1]，∴[1/n+k＜ln(1+
1
n+k−1)＝ln(n+k)−ln(n+k−1)
分别取k=1，2，，n并累加得
Sn
n＝
1
n+1+
1
n+2++
1
2n＜ln(2n)−lnn＝ln2，∴
Sn
n＜ ln2
（ii）又
Tn
n＝
1
n+
1
n+1++
1
2n−1]，∴
Sn+Tn
2n＝
Sn
n+
1
4n
由（i）知
Sn+Tn
2n＝
Sn
n+
1
4n

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；利用导数研究函数的极值；数列的求和．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，难度较大，有一定的技巧．

1年前

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