若数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn＝n2+n(n∈N*)．

若数列{an}的前n项和为Sn，且有Sn＝n2+n(n∈N*)．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝2n+1(n∈N*)，求数列{
an
bn
}的前n项和Tn；
（3）已知cn＝
an
n+1
(n∈N*)，
①若∀n∈N*，使Cn≤k恒成立，求实数k的取值范围；
②若∃n∈N*，使Cn＜k成立，求实数k的取值范围．
soapssb 1年前 已收到1个回答 举报
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海潮哥哥 幼苗

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解题思路：（1）n=1时，a1=S1=2，n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，由此能求出数列{an}的通项公式．
（2）设cn＝
an
bn
＝
n
2n
，则Tn=c1+c2+…+cn=[1/2+
2
22
+…+
n
2n]，由此利用错位相减法能求出数列{
an
bn
}的前n项和Tn．
（3）由Cn＝
2n
n+1
＝2−
2
n+1
，画出函数Cn＝2−
2
n+1
的草图，由此能求出∀n∈N*，使Cn≤k恒成立，实数k的取值范围和∃n∈N*，使Cn＜k成立，实数k的取值范围．

（1）∵Sn＝n2+n(n∈N*)，
∴n=1时，a1=S1=2，…（1分）
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n，…（2分）
n=1也符合，故an＝2n(n∈N*)；…（4分）
（2）设cn＝
an
bn＝
n
2n，
则Tn=c1+c2+…+cn=[1/2+
2
22+…+
n
2n]①…（5分）
即[1/2Tn＝
1
22+
2
23+…+
n
2n+1]②
①-②得：[1/2Tn＝
1
2+
1
22+
1
23+…+
1
2n−
n
2n+1]，
得Tn＝2−
n+2
2n．…（8分）
（3）由Cn＝
2n
n+1＝2−
2
n+1，…（9分）
画出函数Cn＝2−
2
n+1的草图，
由图象知，1≤Cn＜2，…（10分）
①则k≥2，即k∈[2，+∞）；…（12分）
②则k＞1，即k∈（1，+∞）．…（14分）

点评：
本题考点： 数列与不等式的综合；数列的求和．

考点点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列中满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答．

1年前

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