已知二次函数的图像与x轴交于A、B两点,顶点为C.证明 （1）△ABC是直角三角形的充要条件是△=b平方-4ac=4

二次函数式是y=ax²+bx+c
与x轴的交点是A(x1,0) B(x2,0)
顶点C(-b/2a,-Δ/4a)
向量CA=(x1+b/2a,Δ/4a)
向量CB=(x2+b/2a,Δ/4a)
由于|CA|=|CB| 这是长度相等
△ABC是直角三角形的充要条件是角C为直角
则有向量CA•CB=0
即(x1+b/2a)(x2+b/2a)+Δ²/16a²=0
x1x2+(b/2a)(x1+x2)+b²/4a²+Δ²/16a²=0
c/a+(b/2a)(-b/a)+b²/4a²+Δ²/16a²=0
c/a-b²/4a²+Δ²/16a²=0
Δ²=4b²-16ac=4(b²-4ac)=4Δ
因为Δ>0所以Δ=4
即△=b²-4ac=4

设点A、B的坐标分别为(x1,0)，(x2,0)
则方程ax²+bx+c=0的两根为x1，x2
则x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
AB=|x1-x2|=√[﹙x1+x2﹚²-4x1x2]=√△/|a|
△ABC是直角三角形的充要条件是顶点到x轴的距离△/4|a|等于½AB
∴√△/2|a|=△/4|a|
∴△=b²-4ac=4

CA为向量，设二次函数式是y=ax²+bx+c，

并且设其x轴的交点是A(x1，0)，B(x2，0)

则求得顶点C(-b/2a，-Δ/4a)

向量CA=(x1+b/2a,Δ/4a)

向量CB=(x2+b/2a,Δ/4a)

证明：（向量上面自己加单项箭头）

由二次函数的性质可知，|CA|=|CB| ，所以△ABC是直角三角形的充要条件是角C为直角。

由向量性质可知，CA•CB=0

即(x1+b/2a)(x2+b/2a)+Δ²/16a²=0

x1x2+(b/2a)(x1+x2)+b²/4a²+Δ²/16a²=0

c/a+(b/2a)(-b/a)+b²/4a²+Δ²/16a²=0

c/a-b²/4a²+Δ²/16a²=0

Δ²=4b²-16ac=4(b²-4ac)=4Δ

因为Δ>0所以Δ=4

即△=b²-4ac=4

由于以上推导均是互为充要条件，所以命题1成立。

附图了。