如图,在三角形ABC中D是BC上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F且AF=BD.

四边形AFBD是矩形.
证明：
因为,AF//BC ,且AF=BD
则,四边形AFBD是平行四边形.
因为AF//BC
则,∠AFE=∠DCE
在△AFE与△DCE中,
∠AFE=∠DCE,∠AEF=∠DEC,AE=DE
所以,△AFE≌△DCE
得：AF=DC
因为,AF=BD
所以,BD=DC
由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形.
等腰三角形三线合一
因为BD=CD,点D是BC边的中点
可以得出AD也是△ABC的高,AD⊥BC
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形,可得：
平行四边形AFBD是矩形.
Q.E.D.
PS：
因为AD和BC之间没有数量关系,所以不能判断矩形AFBD是不是正方形.
下附图参考：

不是菱形 是长方形

△AFE 与△CDE是全等三角形 →AF=CD，AF=BD → BD=CD D为BC中点。
AB=AC →AD⊥BC⊥AF AF=BD→AFBD是矩形。