问一道高中竞赛组合题考察一个仅由数字1和2组成的100位数,允许从中挑出任意10个连续的数字,并将前5个与后5个数字的位

将100位分为5组:A1,A2,...,A5,其中Ai由第5k+i位组成,k = 0,1,2,...,19.
设Ai的20位中2的个数为ai,则ai的可能取值为0,1,2,...,20,共21种.
且对a1,a2,...,a5在此范围内的每一种,不难构造相应的100位数.
而易见题目中的操作不改变ai,因此合同的等价类至少有21^5个.
接下来说明等价类恰有21^5个,具体来说每个满足要求的100位都合同于"标准型".
这里"标准型"是指每个Ai都具有1,1,...,1,2,2,..,2形式.
考虑如下11位的复合操作:
⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾ → ⑹⑺⑻⑼⑽⑴⑵⑶⑷⑸⑾ → ⑹⑵⑶⑷⑸⑾⑺⑻⑼⑽⑴.
其结果是⑴,⑹,⑾位轮换为⑹,⑾,⑴,其它位都不变.
通过这种复合操作,总可以使这三位中的1排在2的前面.
通过不断的将每个Ai中的某相邻三位中的1移动到2的前面,最终可变为标准型.
因此答案21^5是正确的.