求矩阵A的特征值、特征向量设A是n阶矩阵,A=E+xy^T,x与y都是n*1矩阵,且x^T*y=2,求A的特征值、特征向

易知 y^Tx = x^Ty = 2.
令B=xy^T,则
B^2 = (xy^T)(xy^T) = x(y^Tx)y^T = 2xy^T = 2B.
所以 B 的特征值只能是 0,2.
由于 r(B)=1,故 BX=0 的基础解系含n-1个解向量
B =
x1y1 x1y2 ...x1yn
x2y1 x2y2 ...x2yn
..
xny1 xny2 ...xnyn
-->
y1 y2 ...yn
0 0 ...0
......
0 0 ...0
由已知x^Ty=2,x≠0,y≠0
不妨设y1≠0,x1≠0.
则BX=0的基础解系为
α1 = (y2,-y1,0,...,0)^T
α2 = (y3,0,-y1,...,0)^T
....
αn-1 = (yn,0,0,...,-y1)^T
因为 Bx = (xy^T)x = x(y^Tx) = 2x,x≠0
所以 αn = x 是B的属于特征值2的特征向量.
由定理知,1+0=1,1+2=3 是 A=E+B 的特征值
且特征向量分别为
k1α1+...+k(n-1)α(n-1),knαn
其中 k1,...,k(n-1)不全为零,kn≠0.

单位矩阵E的特征值为n重的1，而xy^T是两个非0向量乘积，其秩为1，其特征值为一个2和(n-1)重的0
那么A=E+xy^T就把E和xy^T的特征值相加得到的特征值是：(n-1)重的1和1个3
形式为{3,1,1,1,1,.....,1}
而属于特征值3的特征向量为x：∵Ax=(E+xy^T)x=x+x(x^T*y)^T=x+2x=3x
属于特征值1的特征向量...

|A-λE|=4-λ 6 0 -3 -5-λ 0 -3 -6 1-λ r2 r1 4-λ =-(λ 2)(λ-1) 特征值为λ1=-2，λ2=λ3=1 对应的特征向量为P1

只需要会求B=xy^T的特征值和特征向量就行了。
注意rank(xy^T)=1，至少有n-1个零特征值，余下的那个可以用tr(xy^T)=tr(y^Tx)=2得到。
至于特征向量，Bx=xy^Tx=2x，所以x是2对应的特征向量。再考察满足y^Tz=0的所有z，必定有Bz=0，所以z非零的时候就是B的特征向量，而V={z:y^Tz=0}是n-1维的子空间，所以没有遗漏。...