(本小题满分14分)已知在直四棱柱ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，

(1) 过E作EG∥AD交A ₁ D于G，连接GF.
∵＝，∴＝，∴EG＝10＝BF.
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG.

∴四边形BFGE是平行四边形．
∴BE∥FG.(4分)
又FG⊂平面A ₁ FD，BE⊄平面A ₁ FD，
∴BE∥平面A ₁ FD.(6分)
(2) ∵在直四棱柱ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，A ₁ A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴A ₁ A⊥BD.
由已知，BD⊥A ₁ F，AA ₁ ∩A ₁ F＝A ₁ ，
∴BD⊥平面A ₁ AF.
∴BD⊥AF.(8分)
∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2.
在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝.
∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF ＝，
∴＝，BF＝4.(10分)
∵在直四棱柱ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 中，A ₁ A⊥平面ABCD，∴平面AA ₁ B ₁ B⊥平面ABCD，
又平面ABCD∩平面AA ₁ B ₁ B＝AB，∠ABF＝90°，
∴FB⊥平面AA ₁ B ₁ B，即BF为三棱锥FA ₁ B ₁ A的高．(12分)
∵∠AA ₁ B ₁ ＝90°，AA ₁ ＝BB ₁ ＝8，A ₁ B ₁ ＝AB＝8，
∴S△AA ₁ B ₁ ＝32.
∴V三棱锥A ₁ AB ₁ F＝V三棱锥FA ₁ B ₁ A＝×S△AA ₁ B ₁ ×BF＝.(14分)

略