如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O 与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F． （1）求证：△ABE≌△CDE； （2）若AE=6，DE=9，求EF的长． |
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（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CED=∠ACB，
又∠AEB和∠ACB都为
AB 所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠CED=∠AEB，
∵AB=AC，CD=AC，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，
∠BAE=∠DCE
∠AEB=∠CED
AB=CD ，
∴△ABE≌△CDE（AAS）．
（2）∵△ABE≌△CDE，
∴AE=EC=6，ED=BE=9，
即
AE
DE =
EC
BE ，且∠AEB=∠CED，
∴△AEF ∽ △DEC，
∴
AE
DE =
EF
EC ．
∴EF=
AE?EC
DE =4．
∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CED=∠ACB，
又∠AEB和∠ACB都为
AB 所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠CED=∠AEB，
∵AB=AC，CD=AC，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，
∠BAE=∠DCE
∠AEB=∠CED
AB=CD ，
∴△ABE≌△CDE（AAS）．
（2）∵△ABE≌△CDE，
∴AE=EC=6，ED=BE=9，
即
AE
DE =
EC
BE ，且∠AEB=∠CED，
∴△AEF ∽ △DEC，
∴
AE
DE =
EF
EC ．
∴EF=
AE?EC
DE =4．
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