为什么要进行傅立叶变换,变换后得到的函数究竟是什么?

第一个问题我认为是对的，就是一个分的概念，但具体分法要看讨论的域，即空间的概念，比如卷积，三角函数，walsh码同样是这个道理因为他们都满足所谓的完备性。至于第二个问题，不知道是不是教材的说法不一样。在讨论傅立叶技术的时候我们同样是将其分解为复指数函数的和的形式，因为这样做表达形式简洁，特别是分解公式和合成公式看起来更有完美的对称性。至于为什么要引入复函数的概念，我就不好回答了，你可以去问问欧拉同学和傅立叶同学，看看他们的作业是怎么回事！

“拉普拉斯变换，我们老师说是因为傅里叶变换条件太苛刻，许多常用函数不存在对应的傅里叶变换，所以才引入的，还说这样子计算更加方便”是对的傅立叶变换要存在必须满足狄里克雷收敛条件，引入Laplace 变换就是将傅立叶变换一般化（可以从那个递减的是指数函数理解）。那么Laplace变换后的函数本质上其实跟傅立叶变换是一样的（不然怎么能叫一般化呢？），但它又必须更一般化，也就是包括更广的范围吧！所以，同理，Laplace变换就是将原信号分解为复指数函数的叠加。你再回顾所学过程：傅立叶级数－》傅立叶变换－》Laplace变换，就可以看出，其实就是在我们所讨论的信号空间里分解信号但又能合成回去。至于怎么确定信号空间呢？正弦函数、复正弦函数到复指数函数均可以，都可以构成一个完备集。而Laplace变换正式因为它能解决原来傅立叶变换处理不了的函数所以威力更大。傅立叶变换还是频域上的复值函数，而Laplace变换就是真正的复变函数了，所以它能有效简洁地解决微分方程，这有点类似电路分析里面引入相量来分析电路稳态的微分方程。