已知曲线y=x lnx（x＞[1/e]）在点（t，t lnt）处的切线l交x轴于点A，交y轴于点B，

解题思路：（1）根据曲线y＝xlnx(x＞1e)在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt再设A（m，0），B（0，n），得出关于t，m，n的方程得m＝t1+lntn＝−t，从而写出S关于t的函数关系式即可；（2）记S＝g(t)＝t22(1+lnt)，先求导数S′＝g′(t)＝t(1+2lnt)2(1+lnt)2，利用导数研究其单调性及最值，从而得出面积S的最小值为；（3）由S≥t+1a(1+lnt)，得t22≥t+1a对t＞1e恒成立．记u(t)＝t22−t+1a，求出其导数u′(t)＝t−1a，利用职权导数研究它的单调性，从而求得实数a的取值范围．

（1）曲线y＝xlnx(x＞
1
e)在点（t，tlnt）处的切线斜率为y'=1+lnt，（1分）
设A（m，0），B（0，n），
则

0−tlnt＝(1+lnt)(m−t)
n−tlnt＝(1+lnt)(0−t)（2分）
解得

m＝
t
1+lnt
n＝−t
所以S＝
1
2|mn|＝
t2
2|1+lnt|，注意到t＞
1
e时，1+lnt＞0，
故S＝
t2
2(1+lnt)(t＞
1
e)为所求．（4分）
（2）记S＝g(t)＝
t2
2(1+lnt)，则S′＝g′(t)＝
t(1+2lnt)
2(1+lnt)2，
∵t＞
1
e，∴
1
e＜t＜
1

e时，S'＜0；t＞
1

e时，S'＞0，
即函数S=g（t）在(
1
e，
1

e)上单调递减，在(
1

e，+∞)上单调递增，（6分）Smin＝g(
1

e)＝

1
e
2(1+ln
1

e)＝
1
e，
所以面积S的最小值为[1/e]，当且仅当t＝
1

e时取到．（8分）
（3）由S≥
t+1
a(1+lnt)，及1+lnt＞0得，
t2
2≥
t+1
a对t＞
1
e恒成立．
记u(t)＝
t2
2−
t+1
a，则u′(t)＝t−
1
a，
当[1/a≤
1
e]，即a＜0或a≥e时，u'（t）＞0恒成立，
此时u（t）在(
1
e，+∞)上单调递增，∴

a＜0或a≥e
u(
1
e)＝
1
2e2−

1
e+1
a≥0（10分）
解得a＜0或a≥2e²+2e，
当[1/a＞
1
e]，即0＜a＜e时，u′(t)＞0⇔t＞
1
a，
所以函数u（t）在(
1
e，
1
a)上单调递减，在(
1
a，+∞)上单调递增，
此时u(t)min＝u(
1
a)＝
1
2a2−

1
a+1
a，∴

0＜a＜e

1
2a2−

1
a+1
a≥0解得a∈ϕ，
综上，a＜0或a≥2e²+2e为所求．（12分）

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．