（2013•宁波模拟）在半径为4的⊙O中，点C是以AB为直径的半圆的中点，OD⊥AC，垂足为D，点E是射线AB上的任意一

解题思路：（1）连接OC，由OD⊥AC得D是AC的中点，则F也是CE的中点，CE=2x，OC=4，DF=y，OE=2y-4，在Rt△COE中，由勾股定理得出y与x之间的关系．
（2）连接OC、OF，由EF=[1/2]CE=OF=4求得CE，再求得OE、AE，则DF即可求出．
（3）此题需分两种情况：当⊙E与⊙O外切于点B时、当⊙E与⊙O内切于点B时及当⊙E与⊙O内切于点A时分别求出DF的值．

（1）连接OC．

∵在⊙O中，AC是⊙O的弦，OD⊥AC，
∴CD=AD．
∵DF∥AB，
∴CF=EF．
∴DF=[1/2]AE=[1/2]（AO+OE）．
∵点C是以AB为直径的半圆的中点，
∴CO⊥AB．
∵EF=x，AO=CO=4，∴CE=2x，OE=
CE2−OC2=
4x2−16=2
x2−4．
∴y=[1/2]（4+2
x2−4）=2+
x2−4．定义域为x≥2；

（2）当点F在⊙O上时，连接OC、OF．

EF=[1/2]CE=OF=4，
∴OC=OB=[1/2]AB=4．
∴DF=2+
4

点评：
本题考点： 切线的性质；勾股定理．

考点点评： 此题考查了切线的性质、勾股形里及中位线的性质等内容，综合性强，难度大．