（2014•闵行区二模）已知曲线C的方程为y2=4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P1，过P1作斜

（2014•闵行区二模）已知曲线C的方程为y²=4x，过原点作斜率为1的直线和曲线C相交，另一个交点记为P₁，过P₁作斜率为2的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₂，过P₂作斜率为4的直线与曲线C相交，另一个交点记为P₃，…，如此下去，一般地，过点P_n作斜率为2ⁿ的直线与曲线C相交，另一个交点记为P_n+1，设点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*）．
（1）指出y₁，并求y_n+1与y_n的关系式（n∈N^*）；
（2）求{y_2n-1}（n∈N^*）的通项公式，并指出点列P₁，P₃，…，P_2n+1，…向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令a_n=y_2n+1-y_2n-1，数列{a_n}的前n项和为S_n，试比较[3/4]S_n+1与[1/3n+10]的大小，并证明你的结论．

yaya2409 1年前已收到1个回答举报

乔柏柏无人敌幼苗

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解题思路：（1）利用曲线的相交关系，联立方程组求解；
（2）由（1）得出y_2n-1-y_2n-3=−4(

)n−2（n≥2），再求通项公式，利用极限思想求出接近的点坐标；
（3）由等比数列的求和公式求得S_n，将问题转化为比较4ⁿ与3n+10的大小，由二项式定理和放缩法，得4ⁿ=（1+3）ⁿ=1+

•3+

•32+…+

•3n＞1+3n+9=3n+10（n≥3），进而验证n=1，2时也符合，最后综合原式得证．

（1）由题意得，y₁=4
设点P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），则设点P_n+1（x_n+1，y_n+1），
由题意得

yn2＝4xn
yn+12＝4xn+1

yn+1−yn
xn+1−xn＝2n，得yn+1+yn＝4•(
1
2)n…（4分）
（2）分别用2n-3、2n-2代换上式中的n得

y2n−2+y2n−3＝4•(
1
2)2n−3
y2n−1+y2n−2＝4•(
1
2)2n−2，
得，y2n−1−y2n−3＝−2•(
1
2)2n−3＝−4(
1
4)n−2 （n≥2）…（6分）
又y₁=4，∴y2n−1＝
8
3+
4
3(

点评：
本题考点：数列与函数的综合；数列与不等式的综合．

考点点评：本题主要考查了直线与曲线的交点问题的处理方法，以及数列求和的方法，放缩法证明不等式的应用，二项式定理，考查了学生综合分析问题的能力．

1年前

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