1−x |
1+x |
nannam 幼苗
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(Ⅰ)∵函数f(x)=ln(ax+1)+
1−x
1+x(x≥0,a为正实数),
∴当a=1时,f(x)=ln(x+1)+
1−x
1+x,
∴f′(x)=
1
x+1+
−2
(1+x)2,
∴切线的斜率为k=f'(1)=0,又f(1)=ln2,
∴切点为(1,ln2),
根据直线的点斜式方程,可得y-ln2=0×(x-1),即y=ln2,
∴所求的切线方程为y=ln2;
(Ⅱ)∵函数f(x)=ln(ax+1)+
1−x
1+x(x≥0,a为正实数),
∴f′(x)=
a
ax+1+
−2
(1+x)2=
ax2+a−2
(ax+1)(1+x)2,
①当a-2≥0,即a≥2时,
∵x≥0,
∴f'(x)>0,
∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递增;
②当a-2<0,即0<a<2时,
令f'(x)=0,则ax2+a-2=0(x≥0),
∴x=
2−a
a,
∴当x∈[0,
2−a
a)时,f'(x)<0,当x∈(
2−a
a,+∞)时,f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递增区间为(
2−a
a,+∞),函数f(x)的单调递减区间为[0,
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题考查了导数的几何意义,导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性,求解单调性问题时,要注意单调区间是定义域的子集.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.属于中档题.
1年前
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