（2014•马鞍山三模）设M为抛物线C：x2=4py（p＞0）准线上的任意一点，过点M作曲线C的两条切线，设切点为A、B

解题思路：（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由x²=2py，得y=

1

4p

x2，求导得两条切线方程为y-y₁=

1

2p

x1(x−x1)，y−y2＝

1

2p

x2(x−x2)，从而求出x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根，由此能求出直线恒过定点（0，p）．
（Ⅱ）设M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2＝2m，x1x2＝−4p2，由此能证明直线MA，MF，MB的斜率倒数成等差数列．

（Ⅰ）设M（m，-p），两切点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由x²=2py，得y=[1/4px2，求导得y′＝
1
2px．
∴两条切线方程为y-y₁=
1
2px1(x−x1)，①
y−y2＝
1
2px2(x−x2)，②…2分
对于方程①，代入点M（m，-p）得，-p-y₁=
1
2px1(m−x1)，
又y1＝
1
4px12，
∴-p-
1
4px12=
1
2px1(m−x1)，
整理得：x12−2mx1−4p2＝0，
同理对方程②有x22−2mx2−4p2＝0，
即x₁，x₂为方程x²-2mx-4p²=0的两根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，③…4分
设直线AB的斜率为k，k＝
y2−y1
x2−x1]=
x22−x12
4p(x2−x1)=
1
4p(x1+x2)，
∴直线AB的方程为y-
x12
4p=
1
4p(x1+x2)(x−x1

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查直线是否恒过定点的判断，考查三条直线的斜率倒数成等差数列的证明，考查圆锥曲线切线，直线过定点，圆锥曲线计算能力等，是难题．