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用反证法.若a不是G的生成元,设G的一个生成元为b,则a=b^k且b≠1（k可以＜0,但|k|≥2）
①若|G|=∞,则b是非平凡子群{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}的元素,与假设矛盾,因而此时b是G的生成元.
②若|G|
①若|G|=∞,则b是非平凡子群{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}的元素,与假设矛盾,因而此时b是G的生成元.
②若|G|
1年前 追问
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首先{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是群，因为它满足乘法结合律且关于乘法封闭，而且1在里面，每个元素都有逆元。又因为{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个子集，且{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}≠{1}或G，因而{1,a^k,a^2k,…,a^(-k),a^(-2k)…}是G的一个非平凡子群。 啊不好意思我后面写错了，应该是a。当|G|<∞时我重写一遍。 设|a|=n，则因为a不为G的生成元，n<|G|，但此时a是非平凡子群H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}的元素（因为|H|=n<|G|故而H是G的非平凡子群）矛盾。因而此时a也是G的生成元。 H={1,a,a^2,…,a^(n-1)}当然就是G的非平凡子群了。 希望你能理解
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