函数可导则函数必然连续,但是为什么导函数存在则函数不一定连续?

从你的疑问,感觉你似乎 混淆了 在一点连续或可导 与 在一点的邻域区间连续或可导
如果函数在某点处可导,则一定在此点处连续.
同样,如果函数在某区间可导,则一定在此区间连续.
但是,如果函数在某点处可导,则不一定在此点的邻域连续.
例如：
当 x为有理数时,f(x) =0
当x为无理数时,f(x)=x^2
可以根据定义验证：此函数 在x=0处,连续且可导.但在x=0 的任一邻域都不连续.
“导函数存在则函数不一定连续” 这句不正确.导函数存在,通常指的是导数在一个区间存在,这样,函数在这个区间也连续.
“函数在点a处导数存在,为什么函数是不一定连续呢?”
函数在a处必连续,但不一定在a的邻域连续.如上例.

分段函数就是特例

导函数存在的意思仅限于左导数存在，右导数存在，而不能说它二者相等。