二元函数可导与连续的关系
在多元微积分中，二元函数的可导性与连续性之间的关系，比一元函数情形更为复杂。对于一元函数，可导性必然蕴含连续性，这是一个经典的结论。然而，对于二元函数z = f(x, y)，情况却有所不同。二元函数的“可导”通常指的是函数在某一点处可微，这是一个比可导更强的条件。具体而言，函数在点P0(x0, y0)处可微，意味着函数在该点的全增量Δz可以表示为关于自变量增量Δx, Δy的线性函数AΔx + BΔy与一个高阶无穷小量之和。其中，系数A和B正是函数关于x和y的偏导数。
可微、偏导存在与连续的逻辑链条
二元函数可微（即可导）与连续的关系可以概括为：可微必然连续，且可微必然意味着两个偏导数都存在。但反过来，两个偏导数都存在，甚至函数在该点连续，都不能推出函数在该点可微。这是与一元函数的核心差异。偏导数存在仅仅表示函数沿x轴和y轴方向的变化率存在，而可微要求函数在所有方向的变化都平滑地由该点的切平面近似。因此，即使所有偏导数都存在，函数在其他方向也可能出现“尖锐”的变化，导致不可微。一个经典的例子是函数f(x, y)在原点处：其偏导数均存在且为0，但函数本身在原点并不连续，更不可微。
综上所述，对于二元函数，可微是最强的条件，它同时保证了函数的连续性和偏导数的存在。而连续性是一个相对独立且较弱的概念，它既不能推出偏导数存在，更不能推出可微。理解这一层次关系，对于深入研究多元函数的微分学性质至关重要，它揭示了多元空间中线性和近似所面临的更高维度的复杂性。