定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+3同时满足以下条件：

解题思路：（Ⅰ）求出f′（x）=3ax²+2bx+c，由f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，得到f′（1）=3a+2b+c=0，再由函数的奇偶性和切线方程能够求出函数y=f（x）的解析式．
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x²-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x²+1，由此入手，结合题设条件，能够求出实数m的取值范围．

（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴f′（1）=3a+2b+c=0…①…（1分）
由f′（x）是偶函数得：b=0②…（2分）
又f（x）在x=0处的切线与直线y=x+2垂直，f′（0）=c=-1③…（3分）
由①②③得：a＝
1
3，b＝0，c＝−1，
即f(x)＝
1
3x3−x+3…（4分）
（Ⅱ）由已知得：
若存在x∈[1，e]，使4lnx-m＜x2-1，即存在x∈[1，e]，使m＞4lnx-x2+1
设h（x）=4lnx-x²+1
m＞h_min，对h（x）求导，导数在（0，
2）大于零，（
2，e）小于零，即h（x）先递增再递减，
当x=
2．m取最大值+∞，x=e 时，m取最小值5-e²．
∴实数m的取值范围是（5-e²，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查函数解析式的求法和求实数的取值范围，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．