（2010•郑州三模）定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d满足：函数f（x）的图象关于原点对称且过点（3，

解题思路：（I）利用奇函数的性质可得b=d=0，因此f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1＝−

− c 3a

，x2＝

− c 3a

，即

− c 3a

＝2，c=-12a②由①②即可解得．
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，分别解出f′（x）＞0时，f′（x）＜0即可得出其单调区间；
（III）设切点Q（x₀，y₀），则点Q处的切线方程为：y−y0＝(

2x

2 0

−8)(x−x0)③
注意到y0＝

2

3

x

3 0

−8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-

2

3

x

3 0

+8x0＝(

2x

2 0

−8)(1−x0)，解出x₀即可．

（I）由题意f（-x）=-f（x）对x∈R恒成立，解之得b=d=0
所以f（x）=ax³+cx，又f（3）=27a+3c=-6①
由f′（x）=3ax²+c=0，得x1＝−
−
c
3a，x2＝
−
c
3a
即
−
c
3a＝2，c=-12a②
由①②得a=[2/3]，c=-8
故f（x）=[2/3x3−8x
（II）由（I）知，f′（x）=2x²-8，
当f′（x）＞0时，解得x＜-2或x＞2；
当f′（x）＜0时，解得-2＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2），（2，+∞），单调减区间为（-2，2）．
（III）设切点Q（x₀，y₀），则点Q处的切线方程为：y−y0＝(
2x20−8)(x−x0)③
注意到y0＝
2
3
x30−8x0及点P（1，-8）在此切线上，
有-8-
2
3
x30+8x0＝(
2x20−8)(1−x0)，
整理得：2
x30−3
x20＝0，即x₀=0或x0＝
3
2]
代入方程③得8x+y=0或7x+2y+9=0为所求．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、切线方程、函数的奇偶性等是解题的关键．