数学压轴题。。。。求解答。△ABC中∠C=90°，AC=16cm，BC=12cm，两动点P，Q分别从点A，点C同时出发，

（1）当t=1时，AP=4，CQ=3，
∴PC=AC-AP=16-4=12，
∴S△PCQ=12PC•CQ=12×12×3=18（cm2），S△ABC=12AC•BC=12×16×12=96（cm2），
则S=S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ=96-18=78（cm2）；
当0＜t＜4时，AP=4t，CQ=3t，
∴CP=16-4t
∴S△PCQ=12PC•CQ=12×（16-4t）×3t=24t-6t2（cm2），
∴S=S四边形APQB=S△ABC-S△PCQ=96-（24t-6t2）=6t2-24t+96=6（t-2）2+72（cm2），
∵（t-2）2≥0，
∴S≥72，
则当t=2s时，四边形APQB的面积取得最小值为72cm2；
（2）延长QO至Q′，使OQ′=OQ，连结A Q′，P Q′，
若存在t值使OP⊥OQ，则OP垂直平分Q Q′，
∴PQ′=PQ，
∴PQ2=PQ2，
∵OA=OB，∠AOQ′=∠BOQ，OQ′=OQ，
∴△AOQ′≌△BOQ，
∴AQ′=BQ=12-3t，∠OAQ′=∠B，
由∠C=90°得∠CAB+∠B=90°，
∴∠CAB+∠OAQ′=90°，即∠PAQ′=90°，）
由勾股定理得：PQ2=AP2+AQ2=（4t）2+（12-3t）2，
在Rt△PCQ中，PQ2=PC2+CQ2=（16-4t）2+（3t）2，
∴（4t）2+（12-3t）2=（16-4t）2+（3t）2，
解得：t=2，
∴存在t值当t=2（s）时OP⊥OQ．