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.设M、N、P在抛物线的准线上的射影分别为M′,N′,P′,由抛物线定义得：
|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a,又圆的方程为〔x-(a+4)〕2+y2=16,将y2=4ax代入得：x2-2(4-a)•x+a2+8a=0,∴xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.
(2)假设存在这样的a,使得：2|AP|=|AM|+|AN|,
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|,∴|AP|=|PP′|.
由定义知点P必在抛物线上,这与点P是弦MN的中点矛盾,所以这样的a不存在.
|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a,又圆的方程为〔x-(a+4)〕2+y2=16,将y2=4ax代入得：x2-2(4-a)•x+a2+8a=0,∴xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.
(2)假设存在这样的a,使得：2|AP|=|AM|+|AN|,
∵|AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=2|PP′|,∴|AP|=|PP′|.
由定义知点P必在抛物线上,这与点P是弦MN的中点矛盾,所以这样的a不存在.
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