已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）2+y2=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．

解题思路：（I）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）²+y²=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；
（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据 b∈(-

1

2

，1)时，即可得到实数k的取值范围．
（Ⅲ）设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，进而把直线与圆方程联立，求得y₂•y₁，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆 S：x2+y2=

1

4

相切．

（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题设条件可得x₁x₂+y₁y₂=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
故有x1+x2=
2+2k
1+k2，x1x2=
1
1+k2，
又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=
k2
1+k2-
2k+2k2
1+k2+1=
1-2k
1+k2
∴
1-2k
1+k2+
1
1+k2=0，得k=1；
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）
则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
则X₁•X₂=
1
k2+1，X₁+X₂=
2(k+1)
k2+1
则

MP=（X₁，kX₁-1-b），

MQ=（X₂，kX₂-1-b）
由MP⊥MQ则
X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0
即
2k2+2k
k2+1=(b+1)+
1
(b+1)
∵b∈(-
1
2，1)，∴
1
2＜b+1＜2，
∴
2k2+2k
k2+1=(b+1)+
1
(b+1)∈[2，
5
2）
解得k≥1，
故实数k的取值范围[1，+∞）
（Ⅲ）∵圆C的方程为（x-1）²+y²=1
设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|•|OB|=1 x₁²+y₁²•x₂²+y₂²=1-（x₁-1）²+y₁²•1-（x₂-1）²+y₂²=2x₁•2x₂=1⇒x₁x₂=
1
4
又∵

(x-1)2+y2=1
x=ky+1⇒（k²+1）x²+2（kλ-1）y+λ²=0，
∴x1x2=
λ2
k2+1=
1
4⇒
|λ|

k2+1=
1
2，
又原点O到直线AB距离 d=
|λ|

1+k2
∴d=
1
2，即原点O到直线AB的距离恒为 d=
1
2
∴直线AB恒与圆 S：x2+y2=
1
4相切．

点评：
本题考点： 直线和圆的方程的应用．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，直线与圆的综合应用，（II）中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的综合问题的常用方法，是解答高考压轴题的关键．属难题．