求定积分∫ 2x^2e^(-2x) dx (0到正无穷)

分部积分就是∫f(x)dg(x)=f(x)g(x)-∫g(x)df(x)
所以原式=-∫x²e^(-2x)d(-2x)
=-∫x²de^(-2x)
=-[x²*e^(-2x)-∫e^(-2x)dx²]
=-x²*e^(-2x)+∫2xe^(-2x)dx
=-x²*e^(-2x)-∫xe^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-∫xde^(-2x)
=-x²*e^(-2x)-[xe^(-2x)-∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)+∫e^(-2x)dx]
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*∫e^(-2x)d(-2x)
=-x²*e^(-2x)-xe^(-2x)-1/2*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)*e^(-2x)
=(-x²-x-1/2)/e^(2x)
x趋于无穷,则这是∞/∞,用洛必达法则
分子求导=-2x-1
分母求导=2e^(2x)
还是∞/∞,用洛必达法则
分子求导=-2
分母求导=4e^(2x)
分母趋于无穷
所以x趋于无穷时,(-x²-x-1/2)/e^(2x)极限是0
x=0,(-x²-x-1/2)/e^(2x)=-1/2
所以原式=0-(-1/2)=1/2

∵∫2x^2*e^(-2x)dx
=-x^2*e^(-2x)+2∫x*e^(-2x)dx
=-x^2*e^(-2x)-x*e^(-2x)+∫e^(-2x)dx
=-x^2*e^(-2x)-x*e^(-2x)-e^(-2x)/2+C
又由洛必达法则有:
lim(x→+∞)x^n/e^(2x)=lim(x→+∞)n!/2^n*e^(2x)=0
∴原定积分为1/2

分部积分得
e^(-2x)*(-x^2-x-0.5)|(0到正无穷)=1/2