（2014•威海一模）设函数f（x）=aex（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+bx+2，已知它们在

解题思路：（Ⅰ）求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函数f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，对∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得当x≥-2，F（x）_min≥0，即可求实数k的取值范围．

（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由题意，两函数在x=0处有相同的切线．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ） f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）单调递增，在（-∞，-2）单调递减．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①当-3＜t＜-2时，f（x）在[t，-2]单调递减，[-2，t+1]单调递增，
∴f(x)min＝f(−2)＝−2e−2．----------------------（5分）
②当t≥-2时，f（x）在[t，t+1]单调递增，∴f(x)min＝f(t)＝2et(t+1)；
∴f(x)＝

−2e−2_ 2et(t+1)(t≥−2)----------------------（6分）
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
由题意当x≥-2，F（x）_min≥0----------------------（7分）
∵∀x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k-2≥0，∴k≥1----------------------（8分）
F'（x）=2ke^x（x+1）+2ke^x-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），----------------------（9分）
∵x≥-2，由F'（x）＞0得ex＞
1
k，∴x＞ln
1
k；由F'（x）＜0得x＜ln
1
k
∴F（x）在(−∞，ln
1
k]单调递减，在[ln
1
k，+∞)单调递增----------------------（10分）
①当ln
1
k＜−2，即k＞e²时，F（x）在[-2，+∞）单调递增，F(x)min＝F(−2)＝−2ke−2+2＝
2
e2(e2−k)＜0，不满足F（x）_min≥0．----------------（11分）
②当ln
1
k＝−2，即k=e²时，由①知，F(x)min＝F(−2)＝
2
e2(e2−k)＝0，满足F（x）_min≥0．-------（12分）
③当ln
1
k＞−2，即1≤k＜e²时，F（x）在

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．