（2014•河南模拟）己知函数f（x）=lnx-lna，g（x）=aex，其中a为常数，函数y=f（x）和y=g（x）的

解题思路：（1）由函数f（x）=ae^x，g（x）=lnx-lna，我们可以求出函数y=f（x）的图象与Y轴的交点和y=g（x）的图象与X轴交点的坐标，求出两个函数的导函数后，根据函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行，即两函数在交点处的导数值相等，构造关于a的方程，解方程即可求出答案．
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，则xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，构造函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数k的取值范围．

（1）∵f（x）=ae^x，
∴f′（x）=ae^x，
函数f（x）=ae^x只于Y轴交于（0，a），
且f′（0）=a
又∵g（x）=lnx-lna，
∴g′（x）=[1/x]，
又∵函数g（x）=lnx-lna只于X轴交于（a，0）点
∴g′（a）=[1/a]
又∵函数y=f（x）和y=g（x）的图象在其与坐标轴的交点处的切线互相平行
∴a=1
∴F（x）=lnx-e^x-1，
∴F′（x）=
1−xex−1
x，
令h（x）=1-xe^x-1，则h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）=0，
∴（0，1）上h（x）＞0，F′（x）＞0，函数单调递增；
（1，+∞）上h（x）＜0，F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数F（x）=f（x）-g（x-1）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
（2）不等式xf（x）-k（x+1）f[g（x-1）]≤0在区间[1，+∞）上恒成立，则xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
令φ（x）=xlnx-k（x²-1）（x≥1），则φ′（x）=lnx+1-2kx，
令u（x）=lnx+1-2kx，则u′（x）=[1−2kx/x]
①k≤0，u′（x）＞0，φ′（x）在[1，+∞）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增，
∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去；
②0＜k＜[1/2]，x∈（1，[1/2k]），u′（x）＞0，φ′（x）在（1，[1/2k]）上单调递增，φ′（x）＞φ′（1）=1-2k＞0，函数单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=0，不合题意，舍去；
③k≥[1/2]，u′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，φ′（x）在[1，+∞）上单调递减，φ′（x）φ′（1）=1-2k≤0，函数单调递减，
∴φ（x）≤φ（1）=0，即xlnx-k（x²-1）≤0在区间[1，+∞）上恒成立，
∴k的取值范围是[[1/2]，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查的知识点是函数与方程的综合应用，直线平行与斜率的关系，导数法求直线的斜率，函数恒成立问题，其难度大．