（2012•安徽）设函数f（x）=aex+[1aex+b（a＞0）．

解题思路：（Ⅰ）设t=e^x（t≥1），则y＝at+

1

at

+b，求出导函数y′＝

a2t2−1

at2

，再进行分类讨论：①当a≥1时，y′＞0，y＝at+

1

at

+b在t≥1上是增函数；②当0＜a＜1时，利用基本不等式y＝at+

1

at

+b≥2+b，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=

3

2

x，建立方程组，即可求得a，b的值．

（Ⅰ）设t=e^x（t≥1），则y＝at+
1
at+b
∴y′＝
a2t2−1
at2]
①当a≥1时，y′＞0，∴y＝at+
1
at+b在t≥1上是增函数，
∴当t=1（x=0）时，f（x）的最小值为y＝a+
1
a+b
②当0＜a＜1时，y＝at+
1
at+b≥2+b，当且仅当at=1（x=-lna）时，f（x）的最小值为b+2；
（Ⅱ）求导函数，可得）f′(x)＝aex−
1
aex
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=[3/2x，
∴

f(2)＝3
f′(2)＝
3
2]，即

ae2−
1
ae2＝
3
2
ae2+
1
ae2+b＝3，解得

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，属于中档题．