在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC.如图,AD为BC边的中线,若角ADB=角CDE,求证：AD垂直BE

证法一：延长DE交平行于AB的直线CF与F
∵∠ADB=∠CDE
∠ABD=∠FCD=90°
BD=CD----------------------------D为BC的中点
∴ Rt△ABD≌Rt△FCD
∴CF=AB,∠CFD=∠BAD--------------------------------①
延长BE交CF于G:
∵BC=AB=CF
∠BCE=∠FEC=45°
∴△BCE≌△FEC
∴∠CBE=∠CFE-------------------------------------------②
由①、②,且由于△ABD为直角三角形
∴ AD⊥BE
证法二：设AD和BE交于O,作辅助线BF⊥AC,交AC于F,交AD于G
因为：△ABC中,∠ABC等于90°,AB=BC,则∠C=∠FBC=45度
又因为：
CD=BD,∠ADB=∠CDE,
所以 △CDE全等△BDG
所以 CE=BG
又因为：
AB=CB,∠ABG=∠C,
所以 △ABG全等△BCE
所以 ∠AGB=∠BEC
所以 ∠BGO=∠BEF
△BEF和△BOG中,2个角相等,则第三个角相等,
∠BOG=∠BFE=90度
所以 AD⊥BE