求证f(x)=-x2+2x+3f(x)=-x2+2x+3在区间[1,正无穷）上为减函数

f(x)=-x2+2x+3
=-(x-1)^2+4
设 x1 x2 属于[1,正无穷) 且 x1>x2
则
f(x2)-f(x1)
=-(x2-1)^2+4-[-(x1-1)^2+4]
=(x1-1)^2-(x2-1)^2
=(x1-1-x2+1)(x1-1+x2-1)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
因为 x1>x2
所以 x1-x2>0
因为 x1 x2 都在 [1,正无穷)
且 x1不等于x2
所以 x1+x2>2
即 x1+x2-2>0
所以上式是大于0的
所以 f(x2)>f(x1)
所以函数在区间[1,正无穷）上为减函数

求这种二次函数的单调性都要抓住对称轴和开口方向来做
因为a<0 所以开口向下
因为对称轴为X=-（b/2a）=-（1/2）
则当X>-（1/2）时为单调减函数
因为区间[1,+∞）在X>-（1/2）范围内
所以为减函数
Q471135645

f(X)=-(x-3)(x+1),可以画函数曲线了，两个根是-1和3，函数图开口朝下，最大值就是x=1时取得，然后两边递减 ，肯定在（负无穷，1）和（1,正无穷）上就为减函数了

∵f(x)=-x²+2x+3=-(x-1)²+4
f(x)的对称轴是：x=1,顶点（1,4),开口向下
∴f(x)在[0，正无穷）为减函数