设函数f（x）=x2+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．

解题思路：（1）由f（x）=x²+aln（1+x），知f′(x)＝2x+

a

1+x

＝

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x=-[1/2]，由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，由此能够讨论f（x）的单调性．
（2）由题设和（1）知：g（0）=a＞0，故−

1

2

＜t＜0，由g（t）=0，知a=-2t²-2t=-2t（1+t），故f（t）=t²-2t（1+t）ln（n+t），设h（x）=x2−2x(1+x)ln(1+x)，(x≥−

1

2

)，由此能够证明f(t)＞

1−2ln2

4

．

（1）∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′(x)＝2x+
a
1+x＝
2x2+2x+a
1+x，x＞-1．
令g（x）=2x²+2x+a，
其对称轴为x=-[1/2]，
由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
∴

△＝4−8a＞0
g(−1)＞0，解得0＜a＜[1/2]．
当x∈（-1，s）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（-1，s）上为增函数，
当x∈（s，t）时，f′（x）＜0，此时f（x）在（S，T）上为减函数．
当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（t，+∞）上为增函数．
（2）证明：由题设和（1）知：g（0）=a＞0，
∴−
1
2＜t＜0，
∵g（t）=0，
∴a=-2t²-2t=-2t（1+t），
∴f（t）=t²+aln（1+t）
=t²-2t（1+t）ln（n+t），
设h（x）=x2−2x(1+x)ln(1+x)，(x≥−
1
2)
则h′（x）=-2（2x+1）ln（1+x），

当x∈[−
1
2，0)时，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[−
1
2，0)上单调递增．
当-[1/2＜x＜0时，
h（x）＞h（-
1
2]）=[1−2ln2/4]，
∴f(t)＝h(t)＞
1−2ln2
4．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明．考查函数知识、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．