设函数f（x）=x2+aln（x+1）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2．

解题思路：（1）题目中条件：“在R上有两个极值点”，即导函数有两个零点．从而转化为二次函数f′（x）=0的实根的分布问题，利用二次函数的图象令判别式大于0在-1处的函数值大于0即可．
（2）由a=[3/8]可知x₁=-[3/4]，x₂=-[1/4]，从而知函数f（x）在（-1，-[3/4]）上单调递增，在（-[3/4]，-[1/4]）上单调递减，在（-[1/4]，+∞）上单调递增．下面分别讨论函数f（x）在（-1，-[3/4]]和在（-[3/4]，-[1/4]）上实根的情况，即可证得方程f（x）=-[1/4]有且只有一个实数根．

（1）由题意，1+x＞0
由f（x）=x²+aln（x+1）可得f′（x）=2x+[a/x+1]=
2x2+2x+a
x+1．
∵f（x）=ax³+x恰有有两个极值点，
∴方程f′（x）=0必有两个不等根，
即2x²+2x+a=0的两个均大于-1的不相等的实数根，其充要条件为

△=4-8a＞0
2-2+a＞0，
解得0＜a＜[1/2]；

（2）由a=[3/8]可知x₁=-[3/4]，x₂=-[1/4]，从而知函数f（x）在（-1，-[3/4]）上单调递增，在（-[3/4]，-[1/4]）上单调递减，在（-[1/4]，+∞）上单调递增．
①由f（x）在（-1，-[3/4]]上连续、单调递增，且
f（-[3/4]）=（-[3/4]）²+[3/8]ln（-[3/4]+1）=[9/16]-[3/4]ln2＞-[1/4]，
以及f（-1+[1
e4）=（-1+
1
e4）²+
3/8]ln（[1
e4）=-
1/2]-[2
e4+
1
e8＜-
1/4]，故方程f（x）=-[1/4]
在（-1，-[3/4]]有且只有一个实根；
②由于f（x）在（-[3/4]，-[1/4]）上单调递减，在（-[1/4]，+∞）上单调递增，因此f（x）在（-[3/4]，+∞）上的最小值，
f（-[1/4]）=（-[1/4]）²+[3/8]ln（-[1/4]+1）=-[1/16]+[3/8]ln[3/4]＞-[1/4]，故方程f（x）=-[1/4]在（-[3/4]，+∞）没有实数根．
综上可知，方程f（x）=-[1/4]有且只有一个实数根．

点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．

考点点评： 本题主要考查函数的导数、极值等基础、根的存在性及根的个数判断等基本知识，考查计算能力，属于中档题．