（2013•奉贤区一模）如图（1），已知∠MON=90°，点P为射线ON上一点，且OP=4，B、C为射线OM和ON上的两

（2013•奉贤区一模）如图（1），已知∠MON=90°，点P为射线ON上一点，且OP=4，B、C为射线OM和ON上的两个动点（OC＞OP），过点P作PA⊥BC，垂足为点A，且PA=2，连接BP．
（1）若
S△PAC
S四边形ABOP
＝
1
2
时，求tan∠BPO的值；
（2）设PC＝x，
AB
BC
＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；
（3）如图（2），过点A作BP的垂线，垂足为点H，交射线ON于点Q，点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值．若发生变化，试用含x的代数式表示OQ的长．
yfeng820 1年前 已收到1个回答 举报
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幻化之烟 春芽

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解题思路：（1）根据有两对角相等的三角形相似可证明△CAP∽△COB，由相似三角形的性质可知：
S△PAC
S△COB]=（[AP/OB]）2，在由已知条件可求出OB的长，由正切的定义计算即可；
（2）作AE⊥PC于E，易证△PAE∽△PCA，根据相似三角形的性质：对应边的比值相等PE=[4/x]，再利用平行线的性质即可得到[AB/BC
＝
OE
OC]，所以y=
4+
4
x
x+4
，整理即可得到求y与x之间的函数解析式，并写出定义域即可；
（3）点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长不发生变化，由△PAH∽△PBA得：[PA/PB
＝
PH
PA]，即PA2=PH•PB，由△PHQ∽△POB得：[PQ/PB
＝
PH
PO]即PQ•PO=PH•PB，所以PA2=PQ•PO，再由已知数据即可求出OQ的长．

（1）∵PA⊥BC，
∴∠CAP=90°
∴∠CAP=∠0=90°，
又∵∠ACP=∠OCB，
∴△CAP∽△COB，
∴
S△PAC
S△COB=（[AP/OB]）2，
∵
S△PAC
S四边形ABOP＝
1
2，
∴
S△PAC
S△COB=[1/3]，
∴（[AP/OB]）2=[1/3]，
∵AP=2，
∴OB=2
3，
在Rt△OBP中，tan∠OPB=[OB/OP]=

3
2；
（2）作AE⊥PC于E，
∴∠AEP=∠CAP=90°
∵∠APE=∠CPA，
∴△PAE∽△PCA，
∴[PA/PC＝
PE
PA]，
∴22=PE•x，
∴PE=[4/x]，
∵∠MON=∠AEC，
∴AE∥OM，
∴[AB/BC＝
OE
OC]，
∴y=
4+
4
x
x+4，
整理得：y=[4x+4
x2+4x（x＞0）；
（3）点B、C在射线OM和ON上运动时，探索线段OQ的长不发生变化，
理由如下：由△PAH∽△PBA得：
PA/PB＝
PH
PA

点评：
本题考点： 相似形综合题．

考点点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义、平行线的判定和性质、由比例式引出的线段之间的函数关系，题目的综合性综合性很强，特别是第三问的动点问题是中考题中的难点．

1年前

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