已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是 1 2 ．

（1）设点M到直线m：x=4的距离为d，
根据题意，可得
|MF|
d =
1
2 ，
即

(x-1) 2 + y 2
|x-4| =
1
2 ，化简得
x 2
4 +
y 2
3 =1 ．
∴曲线C的方程是
x 2
4 +
y 2
3 =1 ；
（2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4．
根据题意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆．
又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得
|k+8-k|

k 2 +1 ≤4 ，
解之得 k≤-
3 或 k≥
3 ，可得斜率k的取值范围是（-∞，-
3 ]∪[
3 ，+∞）．