已知A、B、C是椭圆M： 上的三点，其中点A的坐标为（2 ，0），BC过椭圆M的中心，且 。 （1）求椭圆M的方程；
已知A、B、C是椭圆M： 上的三点，其中点A的坐标为（2 ，0），BC过椭圆M的中心，且 。 |
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| （1）求椭圆M的方程； （2）过点（0，t）的直线（斜率存在时）与椭圆M交于两点P、Q，设D为椭圆M与y轴负半轴的交点，且  ，求实数t的取值范围。 |
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（1）∵点A的坐标为（
，0），
∴
，椭圆方程为
， ①
又∵
，且BC过椭圆M的中心 O（0，0），
∴
，
又∵
，
∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（
，
），
将（
，
）代入①式得
，
∴椭圆M的方程为
。
（2）当直线
的斜率k=0，直线
的方程为y=t，则满足题意的t的取值范围为-2当直线
的斜率k≠0时，设直线的方程为y=kx+t，
由
，得
，
∵直线
与椭圆M交于两点P、Q，
∴△=
，
即
， ②
设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），PQ的中点
，
则H的横坐标
， 纵坐标
，
D点的坐标为（0，-2），
由
，得DH⊥PQ，
，
即
，即
， ③
∴
，∴t>1， ④
由②③得0综上所述，t的取值范围是（-2，4）。
，0），∴
，椭圆方程为
， ①又∵
，且BC过椭圆M的中心 O（0，0），∴
，又∵
，∴△AOC是以∠C为直角的等腰三角形，
易得C点坐标为（
，
），将（
，
）代入①式得
，∴椭圆M的方程为
。（2）当直线
的斜率k=0，直线
的方程为y=t，则满足题意的t的取值范围为-2
的斜率k≠0时，设直线的方程为y=kx+t，由
，得
，∵直线
与椭圆M交于两点P、Q，∴△=
，即
， ②设P（x 1 ，y 1 ），Q（x 2 ，y 2 ），PQ的中点
，则H的横坐标
， 纵坐标
，D点的坐标为（0，-2），
由
，得DH⊥PQ，
， 即
，即
， ③∴
，∴t>1， ④ 由②③得0
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