csc^2(x)-1/x^2的极限 X趋向于0的时候

原式=1/sin²x-1/x²
=(x²-sin²x)/x²sin²x
0/0型,用洛必达法则
分子求导=2x-2sinxcosx=2x-sin2x
分母求导=2xsin²x+x²sin2x
还是0/0型,继续用洛必达法则
分子求导=2-2cos2x
分母求导=2sin²x+2xsin2x+2xsin2x+x²*2cos2x=2sin²x+4xsin2x+2x²cos2x
还是0/0型,继续用洛必达法则
分子求导=4sin2x
分母求导=2sin2x+4sin2x+8xcos2x+4xcos2x-4x²sin2x=6sin2x+12xcos2x-4x²sin2x
继续
分子求导=8cos2x
分母求导=12cos2x+12cos2x-24xsin2x-4xsin2x-8x²cos2x=12cos2x+24cos2x-20xsin2x-8x²cos2x
分子极限=8,分母是24
所以极限=1/3

2/3
三分之二
通分 0/0型用洛必达法则
楼上的1/3错了

lim(x->0) [(cscx)^2-1/x^2]
=lim(x->0) [1/(sinx)^2-1/x^2] (通分)
=lim(x->0) [x^2-(sinx)^2]/[x^2*(sinx)^2]
=lim(x->0) [x^2-(sinx)^2]/x^4 * x^2/(sinx)^2 (后者极限存在，且为1)
=lim(x->0) [x^2-(sinx)...

极限是1
先对分子进行变换可得csc^2(x)-1=tan^2(x)
在根据等价无穷小将tan^2(x)换成x^2
然后就很容易得出结果了

要用麦克劳林展开式，结果是1/3原式=1/sinx^2-1/x^2
通分将Sinx麦克劳林展开 sinx=x-x^3/6+O(x^4)
代入即可！