求e^z/coshz在z的模为2的路径上的环路积分,答案是4πi

主要有两点问题.
首先,你没考虑过曲线C'是什么样子,其实是下面这样的.


C'不是简单闭曲线,当z沿|z| = 2逆时针运动一周,w = e^(2z)沿C'逆时针绕过-1两周.
所以∮{C'} 1/(1+w) dw = 2∮{|w| = e^4} 1/(1+w) dw.
其实直接在这里使用留数定理,就可以算得:
∮{C'} 1/(1+w) dw = 2·2πi·Res(1/(1+w),-1) = 4πi.


你在这里没有使用留数定理,而是试图化成实积分来做.
这样也不是不行,但是你没有注意Ln(z)的多值性.
按你的想法,会得到∮{|z| = 1} 1/z dz = Ln(e^(2πi))-Ln(e^0) = 0这样的错误结论.
正确的结果是∮{|z| = 1} 1/z dz = ∫{0,2π} e^(-iθ) d(e^(iθ)) = i·∫{0,2π} dθ = 2πi.
错误的原因在于,对同一个z,Ln(z)可能会相差2πi的一个整数倍.


最后给两点建议:
第一是对这种题目不要轻易换元.
对这道题,|z| = 2是熟悉的圆周,但是C'的样子就不容易想清楚了.
其实直接求e^z/cosh(z)在|z| = 2中的极点和留数即可.
不难求出两个极点z = ±πi/2,并算得留数都为1.
第二是复积分不要总想着化到实积分来做.
一般是算不出来的,而且算出来还可能出现上述多值性的问题.
有留数定理这么好用的工具,不用可惜了.