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欧米嘎 幼苗
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(1)f′(x)=a2x2-2ax
则f′(1)=3即a2-2a-3=0,(a-3)(a+1)=0
解得a=-1或a=3;
(2)当a≠0时,f′(x)=a2x(x-[2/a])
①a>0时,当x∈(-∞,0),f′(x)>0;0<x<
2
a,f′(x)<0;[2/a]<x时,f′(x)>0
②a<0时,当x∈(-∞,[2/a]),f′(x)>0;[2/a]<x<0时,f′(x)<0;x>0时,f′(x)>0
而当a=0时,f(x)=[2/3],函数f(x)无单调性.
综上,a=0时f(x)无单调性;a>0时,f(x)在(-∞,0)单调增,在(0,[2/a])上单调减,([2/a],+∞)上单调增;
a<0时,f(x)在(-∞,-[2/3])单调增,在(-[2/3],0)上单调减,(0,+∞)上单调增;
(3)令F(x)=f(x)-g(x)=[1/3]a2x3-ax2+ax-[1/3],则F′(x)=a2x2-2ax+a=a(ax2-2x+1)=a[ax2+(1-2x)]
∵a>0,x∈(0,[1/2]]
∴F′(x)>0∴F(x)在(0,[1/2]]上单调递增,所以F(x)max=F([1/2])
若存在x0∈(0,[1/2]]使f(x0)>g(x0)成立,只需F(x)max>0即F([1/2])>0.
代入得[1/3]a2(
1
2)3-a(
1
2)2+a•[1/2]-[1/3]>0
化简得a2+6a-8>0,
解得a>-3+
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负判断函数的增减性及根据函数的增减性得到函数的最值,掌握不等式恒成立时所满足的条件,是一道比较难的题.
1年前
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已知函数f(x)=x3+ax2-x+c,且a=f′(23).
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你能帮帮他们吗