23．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）． （1）当a=- 14 时,求函数f（x）的单调

第一小题当a＝−1 4 时,f(x)＝−1 4 x2+ln(x+1)（x＞-1）,f′(x)＝−1 2 x+1 x+1 ＝−(x+2)(x−1) 2(x+1) （x＞-1）,
由f'（x）＞0,解得-1＜x＜1,由f'（x）＜0,解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1,1）,单调递减区间为（1,+∞）．（4分）
第二小题因当x∈[0,+∞）时,不等式f（x）≤x恒成立,即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立,设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0）,只需g（x）max≤0即可．（5分）
由g′(x)＝2ax+1 x+1 −1=x[2ax+(2a−1)] x+1 ,
（1）当a=0时,g′(x)＝−x x+1 ,当x＞0时,g'（x）＜0,函数g（x）在（0,+∞）上单调递减,故g（x）≤g（0）=0成立（2）当a＞0时,由g′(x)＝x[2ax+(2a−1)] x+1 ＝0,因x∈[0,+∞）,所以x＝1 2a −1,
①若1 2a −1＜0,即a＞1 2 时,在区间（0,+∞）上,g'（x）＞0,则函数g（x）在（0,+∞）上单调递增,g（x）在[0,+∞）上无最大值（或：当x→+∞时,g（x）→+∞）,此时不满足条件；
②若1 2a −1≥0,即0＜a≤1 2 时,函数g（x）在(0,1 2a −1)上单调递减,在区间(1 2a −1,+∞)上单调递增,同样g（x）在[0,+∞）上无最大值,不满足条件．
（3）当a＜0时,由g′(x)＝x[2ax+(2a−1)] x+1 ,∵x∈[0,+∞）,∴2ax+（2a-1）＜0,
∴g'（x）＜0,故函数g（x）在[0,+∞）上单调递减,故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述,实数a的取值范围是（-∞,0]．