robberxia
春芽
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n趋近+∞时,1+1/2²+1/3²+ … +1/n²的值趋近于π²/6
这个首先是由欧拉推出来的,要用到泰勒公式
将sinx按泰勒级数展开,得:
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+ …
于是sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+ …
令y=x²,则有sin(√y)/(√y)=1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+ …
而方程sinx=0的根为0、±π、±2π、…
故方程sin√y/√y=0的根为π²、(2π)²、…
即1-y/3!+y^2/5!-y^3/7!+…=0的根为π²、(2π)²、…
由韦达定理,常数项为1时,根的倒数和=一次项系数的相反数
即,1/π²+1/(2π)²+…=1/3!
所以,(1/1)²+(1/2)²+(1/3)²+ … +(1/n)²+……=π²/6
1年前
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