已知直线（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点

解题思路：条件中给出一个直线系，需要先求出直线所过的定点，根据定点是椭圆的焦点，及椭圆C上的点到点F的最大距离为8，写出椭圆中三个字母系数要满足的条件，解方程组得到结果，写出椭圆的方程．

由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由

x−2y−3＝0
4x+3y−12＝0，解得F（3，0）．
设椭圆C的标准方程为
x2
a2+
y2
b2＝1(a＞b＞0)，则

c＝3
a+c＝8
a2＝b2+c2
解得 a=5，b=4，c=3，
从而椭圆C的标准方程为
x2
25+
y2
16＝1．
故答案为：
x2
25+
y2
16＝1

点评：
本题考点： 椭圆的标准方程；恒过定点的直线；椭圆的简单性质．

考点点评： 本题考查直线与圆锥曲线之间的关系，题目中首先求椭圆的方程，这是这类题目常用的一种形式，属于基础题．