已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，且AB=AA1，D，E，F分别为B1A

解题思路：（I）设AB的中点为G，连接DG，CG，根据三角形中位线性质，结合已知中E是C₁C的中点，可得CEDG是平行四边形，进而DE∥GC，则线面平行的判定定理可得，DE∥平面ABC；
（Ⅱ）由已知中ABC为等腰直角三角形，且∠BAC=90°，F是BC的中点，根据等腰三角形“三线合一”可得AF⊥BC，由直三棱柱性质可得，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，结合面面垂直的性质可得AF⊥B₁F，又由勾股定理，可得B₁F⊥EF结合线面垂直的判定定理，即可得到B₁F⊥平面AEF；
（Ⅲ）分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，设AB=AA₁=2，则可求出各顶点坐标，进而求出平面AEB₁与平面EB₁F的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．

证明：（Ⅰ）设AB的中点为G，连接DG，CG
∵D是A₁B的中点
∴DG∥A₁A且DG=[1/2A1A
∵E是C₁C的中点
∴CE∥A₁A且CE=
1
2A1A
∴CE∥DG且CE=DG
∴CEDG是平行四边形
∴DE∥GC
∵DE⊄平面ABC，GC⊂平面ABC
∴DE∥平面ABC（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中点
∴AF⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥平面BCC₁B₁
∴AF⊥B₁F（6分）
设AB=AA₁=2
则在B₁FE中，B1F＝
6]，
则EF＝
3，B₁E=3
∴B₁E²=B₁F²+EF²=9
∴△B₁FE是直角三角形，
∴B₁F⊥EF（8分）
∵AF∩EF=F
∴B₁F⊥平面AEF（9分）
（Ⅲ）分别以AB，AC，AA₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AA₁=2，则设A（0，0，0），B₁（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0），D（1，0，1）
∵AF⊥平面BCC₁B₁
∴面B₁FE的法向量为

AF=（1，1，0），（10分）
设平面AB₁E的法向量为

n＝(x，y，z)
∵

AE＝(0，2，1)，

AD＝(1，0，1)
∴

AE•

n＝0，

AD•

n＝0
∴2y+z=0，，x+z=0，
不妨设z=-2，可得

n＝(2，1，−2)（12分）
∴cos＜

n，

AF＞＝


n•

AF
|

n||

AF|=
3
3
2＝

2
2（13分）
∵二面角A-EB₁-F是锐角
∴二面角A-EB₁-F的大小45°（14分）

点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角．

考点点评： 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，用空间向量求平面间的夹角，（I）的关键是在平面内找到与已知直线平行的直线，（II）的关键是在平面找到两条件与已知直线均垂直的相交直线，（III）的关键是建立空间坐标系，将空间二面角问题转化为向量夹角问题．