（2012•济南三模）设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）导函数．

（I）函数f（x）的定义域为（0，+∞），又f′（x）=2x-2（-1）^k [1/x]=
2[x2−(−1)k]
x，
1°当k 为奇数时，f′（x）=
2(x2+1)
x，∵x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0恒成立；
2°当k 为偶数时，f′（x）=
2(x2−1)
x，∵x+1＞0，∴f′（x）＞0得x＞1，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
综上所述，当k 为奇数时，f（x）的单调增区间为（0，+∞），当k 为偶数时，即f（x）的单调增区间为（1，+∞），
（Ⅱ）当k 为偶数时，由（1）知f′（x）=2x-[2/x]，∴f′（a_n）=2a_n-[2
an，
由条件得：2（a_n²-1）=a _n+1 ²-3，故有：a_n+1 ²+1=2（a_n ²+1），
∴{a_n ²+1}是一个公比为2的等比数列，∴a_n²=2ⁿ-1，
假设数列{a_n²}中的存在三项a_r ²，s ²，a_t ²，能构成等差数列
不妨设r＜s＜t，则2a_s ²=a _r ²+a_t ²，
即2（2^s-1）=2^r-1+2^t-1，∴2 ^s-r+1=1+2 ^t-r，
又s-r+1＞0，t-r＞0，∴2 ^s-r+1为偶数，1+2 ^t-r为奇数，故假设不成立，
因此，数列{a_n²}中的任意三项不能构成等差数列；
（Ⅲ） 当k为奇数时，f′（x）=2（x+
1/x]），
∴b_n=[1/2]f′（n）-n=[1/n]，S_n=1+[1/2]+[1/3]+…+[1/n]
要证（1+b_n）
1
bn+1＞e，即证（1+[1/n]）ⁿ⁺¹＞e，两边取对数，
即证ln（1+[1/n]）＞[1/n+1]（10分）
设1+[1/n]=t，则n=[1/t−1]，
lnt＞1-[1/t]（t＞1），构造函数g（t）=lnt+[1/t]-1，
∵x＞1，∴g′（t）=[1/t−

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；不等式比较大小；数列递推式．

考点点评： 本小题主要考查等差关系的确定、利用导数研究函数的单调性、证明不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．

1年前

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