已知函数g（x）=[1/xsinθ]+lnx在[1，+∞）上为增函数，且θ∈（0，π），f（x）=mx-[m−1/x]-

（1）由题意，g′(x)＝−
1
sinθ•x2+
1
x≥0在[1，+∞）上恒成立，即[sinθ•x−1
sinθ•x2≥0．
∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0．故sinθ•x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，只须sinθ•1-1≥0，
即sinθ≥1，只有sinθ=1．结合θ∈（0，π），得θ＝
π/2]．
（2）由（1），得f（x）-g（x）=mx−
m
x−2lnx．
∴(f(x)−g(x))′＝
mx2−2x+m
x2．
∵f（x）-g（x）在其定义域内为单调函数，
∴mx²-2x+m≥0或者mx²-2x+m≤0在[1，+∞）恒成立．mx²-2x+m≥0等价于m（1+x²）≥2x，即m≥
2x
1+x2，
而[2x
x2+1＝
2
x+
1/x]，（[2
x+
1/x]）_max=1，∴m≥1．mx²-2x+m≤0等价于m（1+x²）≤2x，即m≤
2x
1+x2
在[1，+∞）恒成立，而[2x
x2+1∈（0，1]，m≤0．
综上，m的取值范围是（-∞，0]∪[1，+∞）．
（3）构造F（x）=f（x）-g（x）-h（x），F(x)＝mx−
m/x−2lnx−
2e
x]．
当m≤0时，x∈[1，e]，mx−
m
x≤0，−2lnx−
2e
x＜0，
所以在[1，e]上不存在一个x₀，使得f（x₀）-g（x₀）＞h（x₀）成立．
当m＞0时，(F(x))′＝m+
m
x2−
2
x+
2e
x2＝
mx2−2x+m+2e
x2．
因为x∈[1，e]，所以2e-2x≥0，mx²+m＞0，
所以（F（x））'＞0在x∈[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]上单调递增，F(x)max＝F(e)＝me−
m
e−4，只要me−
m
e−4＞0，
解得m＞
4e
e2−1．
故m的取值范围是(
4e
e2−1，+∞)．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘隐含条件，仔细解答．

1年前

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