如图,一条直线上有三点A,B,C,点C在点A与点B之间,点P是此直线外一点,设∠APC＝α,∠BPC＝β.

过点C作CE平行于PA,交PB于点E,则∠PCE=α,∠PEC=π－(α＋β).则在三角形PCE中,有：sin(∠PEC)/PC=sin(∠PCE)/PE=sin(∠BPC)/CE,即sin[π－(α＋β)]/PC=sinα/PE=sinβ/CE,所以sin(α＋β)/PC=[PA×sinα]/[PA×PE]=[PB×sinβ]/[PB×PE],利用比例性质,有：sin(α＋β)/PC=[PAsinα＋PBsinβ]/[PA×PE＋PB×CE].下面证明分母PA×PE＋PB×CE就是PA×PB.
由于CE与PA平行,所以CE：PA=BE：PB,所以PA×PE＋PB×CE=PA×PE＋PA×BE=PA×(PE＋BE)=PA×PB.所以,sin(α＋β)/PC=[PAsinα＋PBsinβ]/(PA×PB)=sinα/PB＋sinβ/PA.证毕.

面积S=1/2*AP*PB*sin（α+β）
S=1/2*PA*PC*sinα+1/2*PB*PC*sinβ
面积相等 两边同时除以（1/2*PA*PB*PC)
整理得： sin(α+β)/PC=(sinα/PB)+(sinβ/PA)