（2008•北京）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（2008•北京）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
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解题思路：（1）注意到直线AB和l平行，则斜率相等，得到直线AB的方程．再由以AB为底，计算三角形面积．
（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．
（2）由弦长公式算出AB，点到直线的距离算出BC，再根据勾股定理，得到AC的表达式，从而求出最大值．
（Ⅰ）因为AB∥l，且AB边通过点（0，0），所以AB所在直线的方程为y=x．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．
由
x2+3y2＝4
y＝x得x=±1．
所以|AB|=
2|x1−x2|＝2
2．
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离．
所以h=
2，S△ABC=[1/2|AB|•h=2．
（Ⅱ）设AB所在直线的方程为y=x+m，
由
x2+3y2＝4
y＝x+m]得4x2+6mx+3m2-4=0．
因为A，B在椭圆上，
所以△=-12m2+64＞0．
设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则x1+x2=-[3m/2]，x1x2=
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．
考点点评： 本题是属于对直线与圆锥曲线的位置关系的考查．注意到解析几何的综合题在高考中的“综合的程度”往往比较高，且计算量常常较大，因此平时复习时要注意其深难度，同时注意加强计算能力的培养．
1年前
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