已知函数f（x）=[lnx/x+a]（ a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为[1/2]．

解题思路：（Ⅰ）求导数，函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为[1/2]，可得f′(1)＝

1

2

，解之即可；（Ⅱ）把问题转化为方程1+

1

x

−lnx＝0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数g(x)＝1+

1

x

−lnx(x＞0)，可得函数g（x）有零点x₀∈（3，4），进而可得答案．

（Ⅰ）求导数可得f′(x)＝

x+a
x−lnx
(x+a)2＝
1+
a
x−lnx
(x+a)2，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为[1/2]，
∴f′(1)＝
a+1
(a+1)2＝
1
a+1＝
1
2，解得a=1---------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（I）可知f′(x)＝
1+
1
x−lnx
(x+1)2
∵函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程f′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程1+
1
x−lnx＝0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解----------------------------------（7分）
令g(x)＝1+
1
x−lnx(x＞0)，
∵x＞0，∴g′(x)＝−
1
x2−
1
x＜0，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数---（9分）
又g(3)＝
4
3−ln3＝
1
3ln
e4
27＞
1
3ln
2.54
27＞0，
g(4)＝
5
4−ln4＝
1
4ln
e5
256＜
1
4ln
35
256＜0
∴函数g（x）有零点x₀∈（3，4）----------------------------------（12分）
∵方程g（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．---------（13分）

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件．

考点点评： 本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．