已知函数f（x）=lnx-2kx，（k常数）

解题思路：（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)＝

1

x

−2k，由k的不同取值进行分类讨论，能求出f（x）的单调区间．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，得x³+2kx＞0恒成立，由此能求出k的取值范围．

（1）由f（x）=lnx-2kx，得f′(x)＝
1
x−2k，
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，f′(x)＝
1
x−2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数，
当k＞0时，由[1/x−2k＞0，得x＜
1
2k]，
∴f（x）在（0，[1/2k]）上是增函数，在（[1/2k]，+∞）上是减函数，
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当k＞0时，f（x）的单调增区间是（0，[1/2k]），单调减区间是（
1
2k，+∞）．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，
得x³+2kx＞0恒成立，x∈（0，+∞），
即2kx＞-x³，∴2k＞-x³恒成立，
∵-x²＜0，2k≥0，
∴k的取值范围是[0，+∞）．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查函数的单调区间的求法和求实数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用．