已知函数f （x）=eg（x），g （x）=[kx−1/x+1]（e是自然对数的底），

解题思路：（1）先求出导函数g′（x），然后将g（x）是（1，+∞）上的增函数转化成g′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，即可求出k的取值范围；
（2）先由条件得到f（1）＜2⇒e

k−2

2

＜2⇒k＜2ln2+1＜3猜测最大整数k=2，然后证明e

2x−1

x+1

＜x+1对任意x＞0恒成立，转化成ln（x+1）+[3/x+1]＞2，设h（x）=ln（x+1）+[3/x+1]，然后利用导数求出h（x）在x＞0上的最小值，即可证得整数k的最大值为2．

（1）设g （x）=[kx−1/x+1]⇒g′（x）=
k(x+1)−kx+1
(x+1)2=
k+1
(x+1)2，
因为g（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g′（x）＞0，得到k＞-1；所以k的取值范围为（-1，+∞）
（2）由条件得到f（1）＜2⇒e
k−2
2＜2⇒k＜2ln2+1＜3猜测最大整数k=2，
现在证明e
2x−1
x+1＜x+1对任意x＞0恒成立，e
2x−1
x+1＜x+1等价于，
2-[3/x+1]＜（lnx+1）⇔ln（x+1）+[3/x+1]＞2，
设h（x）=ln（x+1）+[3/x+1]⇒h′（x）=[1/x+1]-
3
(x+1)2=
x−2
(x+1)2
故x∈（0，2）时，h′（x）＜0，当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，
所以对任意的x＞0都有h（x）≥h（2）=ln3+1＞2，
即e
2x−1
x+1＜x+1对任意x＞0恒成立，
所以整数k的最大值为2．

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查了根据单调性求参数k的问题，以及不等式恒成立等基础知识，考查灵活运用转化和划归的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力，属于中档题．