一道初三数学题求秒答如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=12,点D在边BC上,且BD=4,以点D为顶点作∠EDF=

（1）∵∠EDF+∠FDC=∠B+∠DEB,∠EDF=∠B,
∴∠FDC=∠DEB．
∵AB=AC,
∴∠C=∠B．
∴△CDF∽△EBD．（1分）
∴CFBD=
CDBE．
即CF4=
810-6．（1分）
∴CF=8．
∴AF=AC-CF=10-8=2．（1分）
（2）分外切和内切两种情况考虑：
当⊙C和⊙A外切时,点F在线段CA上,且AF=AE,
∵AB=AC,
∴BE=CF．（1分）
∵CFBD=
CDBE,
∴BEBD=
CDBE．
即BE2=BD•CD=4×8=32,
∴BE=4
2．（1分）
当⊙C和⊙A内切时,点F在线段CA延长线上,且AF=AE,
∴BE=AB-AE=10-AE,CF=AC+AF=10+AE．（1分）
∵CFBD=
CDBE,10+AE4=
810-AE,（1分）
解得AE=2
17,
∴BE=10-2
17．（1分）
∴当⊙C和⊙A相切时,BE的长为4
2或10-2
17．
（3）取边AC中点O,过点O分别作OG⊥DE,OQ⊥BC,垂足分别为G、Q；
过点A作AH⊥BC,垂足为H．（1分）
∵⊙O和线段DE相切,
∴OG=
12AC=5．
在Rt△CAH中,∠AHC=90°,cosC=
CHAC=
610=
35,
在Rt△CQO中,∠CQO=90°,
∵cosC=
CQCO,
∴CQ=COcosC=5×
35=3．
∴DQ=8-3=5．
∴OG=DQ．（1分）
∵OD=DO,
∴Rt△OGD≌Rt△DQO．
∴∠GOD=∠QDO．
∴OG∥BC．
∴∠EDB=∠OGD=90°．（1分）
∴cosB=
BDBE=cosC=
35．
∴BE=
435=
203．（3分）
∴当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时,BE=
203．